Lektion 3 - Wahrscheinlichkeitsbegriffe und Kombinatorik

3.3.2 Die totale Wahrscheinlichkeit

Besteht ein Ereignisraum aus zwei (oder mehr) Ereignissen B₁, B₂,... und wird zusätzlich ein beliebiges Ereignis A definiert, dann gilt als totale Wahrscheinlichkeit

Um die Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit von Bayes zu zeigen, passen wir zunächst die allgemeingültige Symbolik mit beliebig vielen Ereignissen B₁, B₂ ,... an die obigen Beispiele an.

Setzen wir B₁ gleich B und B₂ gleich , dann lässt sich obige Regel in modifizierter Form darstellen:

Wir können diese Formel wie folgt lesen:

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A (männlich) ist die Summe der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten für männlich (Bedingung B = „zufrieden“ bzw.  = „unzufrieden“).

Dabei werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit für zufrieden bzw. unzufrieden multipliziert.

 

Nehmen wir die Berechnung nun für den obigen Fall der Unabhängigkeit vor, dann setzen wir die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten für männlich jeweils gleich den unbedingten Wahrscheinlichkeiten von 0,7.

Als Berechnung ergibt sich damit:

P(A) = 0,7 ∙ 0,8 + 0,7 ∙ 0,2 = 0,56 + 0,14 = 0,7.

Wir erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit dadurch entsteht, dass zwei (bedingte) Wahrscheinlichkeiten „gewichtet“ addiert werden (Summe der „Gewichte“ 0,8 und 0,2 = 1,00).