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1. Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik


                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1

Dieser Beitrag ist sehr wörtlich entnommen aus Franz Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, 3. Aufl, vieweg, 1995, S. 21-25.

"Jede natürliche Zahl ist interessant. Denn angenommen es gäbe eine uninteressante natürliche Zahl. Dann gäbe es auch eine kleinste uninteressante Zahl. Dies macht diese Zahl wirklich interessant! Also ist dies doch eine interessante Zahl. Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine uninteressante Zahl gibt."

Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist. Für je zwei Zahlen a, b ∈ R ist also auch

    

                    Addition                   a + b ∈ IR
                    Subtraktion              a – b ∈ IR
                    Multiplikation           a * b ∈ IR
                    Division (für b ≠ 0)   a / b ∈ IR

Regeln bezüglich der Vertauschbarkeit der Zahlen und der Klammermultiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) sind erfüllt.
Gegeben sind die reellen Zahlen a, b, c .
                   
                    a + b = b + a
                    a * b = b * a
                    (a + b) + c = a + (b + c)
                    (a * b) * c = a * (b * c)
                    a + 0 = a
                    a + (-a) = 0
                    a * 1 = a
                    a * 1/a = 1 für alle Werte von a außer der Null.
                    a * 0 = 0
                    a * (b + c) = a * b + a * c.  (Distributivität)

Der umgekehrte Vorgang zum Ausmultiplizieren von Klammern ist das sogenannte Ausklammern, d.h. es wird aus einer Summe ein gemeinsamer Faktor der Summanden herausgezogen.

                         a * b + a * c = a * (b + c)

Um die Darstellung einer Summe oder eines Produktes von endlich vielen Zahlen zu vereinfachen, benützt man häufig die Symbole ∑ (Sigma) und Π (Pi).