Kapitel 2 - Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

2.7 Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Es gibt drei verschiedene Begriffe für die Definition der Wahrscheinlichkeit:

• Statistische Wahrscheinlichkeit
  
  
• Klassische Wahrscheinlichkeit (nach Laplace)
  
  
• Axiomatische Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogoroff).

(1) Die statistische Wahrscheinlichkeit

Die statistische Wahrscheinlichkeit P(A) ist derjenige Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit h(A) bei einer zunehmenden Zahl von Zufallsexperimenten stabilisiert:

$\mathsf{ \normalsize{ P(A) = \lim\limits_{n \to \infty} h(A) } }$

(2) Die klassische Wahrscheinlichkeit

Die klassische oder mathematische Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus der Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle:

$\mathrm{ \normalsize{ P(A) =\Large{ \frac{|A|}{|\Omega|} } } }$

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeiten für die 6 im nachfolgenden Venn-Diagramm angegebenen Ereignisse. 

Bei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} des Würfels ergeben sich:

$\mathsf{ \normalsize{ P(A) = \Large{ \frac{3}{6} }\normalsize{= 0,5 } }}$               $\mathsf{ \normalsize{ P(B) = \Large{ \frac{2}{6} }\normalsize{= 0,333 } }}$       $\mathsf{ \normalsize{ P(A \cap B) =\Large{ \frac{1}{6} }\normalsize{= 0,167 } }}$   

$\mathsf{ \normalsize{ P(A \cup B) = \Large{\frac{4}{6} } \normalsize{ = 0,667 }} }$    $\mathsf{ \normalsize{ P(\overline{A} ) = \Large {\frac{3}{6}} \normalsize{= 0,5 } } }$         $\mathsf{ \normalsize{ P(A-B) =\Large{ \frac{2}{6} } \normalsize{ = 0,333 } }}$

(3) Die axiomatische Wahrscheinlichkeit

Axiom 1

Jedem Ereignis A ist eine reelle Zahl größer gleich 0 und kleiner gleich 1 zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit P(A) heißt:

Axiom 2

Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist gleich 1,0:

Axiom 3

Die Wahrscheinlichkeit für das Vereinigungsereignis zweier disjunkter Ereignisse ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten:

Die axiomatische Wahrscheinlichkeit am Würfelbeispiel

zu Axiom 1:     P(A) = 0,5  das entspricht 50%

zu Axiom 2:     Die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu werfen, ist 1 bzw. 100%

zu Axiom 3:     A und A̅ sind disjunkt;

                       Die Wahrscheinlichkeitssumme ist P(A) + P(A̅) = 0,5 + 0,5 = 1,0.

Sehen Sie hier ein Lehrvideo.

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Lehrvideo: Wahrscheinlichkeitsbegriffe Würfelwurf

Die Kreuztabelle ist eine wichtige Darstellungsform für die Verknüpfungen von Ereignissen:

Die Kreuztabelle enthält Randwahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten für die kombinierten Ausprägungen.

Wir erkennen in der obigen Tabelle, dass - wegen der vorliegenden Unabhängigkeit - die Zellenwahrscheinlichkeiten als Produkte der Randwahrscheinlichkeiten zustande kommen.

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