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1. Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

Dieser Beitrag ist sehr wörtlich entnommen aus Franz Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, 3. Aufl, vieweg, 1995, S. 21-25.

"Jede natürliche Zahl ist interessant. Denn angenommen es gäbe eine uninteressante natürliche Zahl. Dann gäbe es auch eine kleinste uninteressante Zahl. Dies macht diese Zahl wirklich interessant! Also ist dies doch eine interessante Zahl. Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine uninteressante Zahl gibt."

Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist. Für je zwei Zahlen a, b ∈ R ist also auch

                    Addition                   a + b ∈ IR
                    Subtraktion              a – b ∈ IR
                    Multiplikation           a * b ∈ IR
                    Division (für b ≠ 0)   a / b ∈ IR

                         a * b + a * c = a * (b + c)

Um die Darstellung einer Summe oder eines Produktes von endlich vielen Zahlen zu vereinfachen, benützt man häufig die Symbole ∑ (Sigma) und Π (Pi).

1.1. Das Summenzeichen

                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1

(1.4.1) Definition

Die Summe der reellen Zahlen a_m, ..., a_n kann man abkürzen in der Form

   

                     

(sprich: Summe der a_i, für i = m bis n).

Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n ∈ Z; m ≤ n).

Der Ausdruck $\sum_{{i}={m}}^{n}a_{i}$  stellt also eine Anweisung dar, die Summe der Zahlen a_i zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft. 

Häufig tritt der Spezialfall einer Summe $\sum_{{i}={1}}^{n}a_{i}$ oder $\sum_{{i}={0}}^{n}a_{i}$ auf.

Beispiel:

 
                      a1=4, a2=7, a3=12, a4=18

                       

                     

Bemerkung:

Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe a_i explizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen. Für das Erkennen von Gesetzmässigkeiten in Zahlenfolgen, die aufaddiert werden, empfiehlt sich folgende Faustregel:

1.Unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=1 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe i=1 bis 4 von 3*i-1

2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B. 4+9+16+25 Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5 also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand  2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i

3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)ⁱ realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass der erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3,-4 benötigt (-1)^i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.

             

Beispiel:

             
              

Beispiel:

              

              

Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:

                   

Beispiel:

       

              

              

Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)ⁱ⁺¹ 

Beispiel:

              

Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen

                 

              4= 2*2

              27=3*9=3*3*3

              256=16*16=4*4*4*4

Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

              i ⁱ

             

             

                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1

Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:

(1.4.2) Satz

                

 

                       

Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre

                  

                   

Bei vielen für die Praxis wichtigen Problemen treten doppelt indizierte Summanden a_ij auf. In diesem Falle kann man eine so genannte Doppelsumme bilden, indem man über beide Indices summiert.

(1.4.3) Definition

Gegeben seien die Zahlen a₁₁, ..., a_mn ∈ IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe als Doppelsumme:

               

                   

Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.

Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

                

                   

Beispiel Doppelsumme

Berechnen Sie die Doppelsummen:

                  

                     

               i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+
                          6*1+3*1*1+

               i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+
                           6*2+3*2*1=

                           6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45

(1.4.3) Definition

Gegeben seien die Zahlen a₁₁, ..., a_mn ∈ IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:

               

                  

Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:

 

                  

 

es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.

1.2. Das Produktzeichen

                   

(sprich: Produkt der a_i, für i = m bis n).

Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt     (für n ∈ N und a⁰ = 1) dar.

Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir aⁿ als die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent.

Wir wollen nun noch kurz die aus der Arithmetik bekannten Rechenregeln für Potenzen wiederholen.

Beispiel Produktzeichen

Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens

                            

Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen

                  

                   
                    8=2*2*2

                    27= 3*3*3

                    64=4*4*4

                    Formel lautet i^3

Bemerkungen: Rechenregeln

•  für alle beliebigen Werte von a außer der Null. Wir nennen den  Kehrwert von a.

• Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.

• Zwei Brüche  und (b,y ≠ 0) werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:

                           

• Der Kehrwert eines Bruchs  ist der Bruch  .

• Zwei Brüche  und  (b,y≠0) werden dividiert, indem man den Zählerbruch (bruch₁) mit dem Kehrwert des Nennerbruchs (bruch₂) multipliziert:

                             

• Kann man einen Bruch  mit Hilfe eines  Wertes c so umformen, dass man  erhält, kann man den Bruch mit c kürzen und erhält  . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.(b, y, c ≠ 0 und c ≠ 1) . Es gilt dann also

                              

• Brüche werden so addiert:

1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner N(N ≠ 0)  haben.

2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe Z .

3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe Z und im Nenner der gleichnamige Ausdruck  .

• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form x^a dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.

• Bei ungeradzahligem n (n ∈ ℕ) kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden.

(1.4.5) Satz

Es seien a,b ∈ IR und n, m ∈ Z. Dann gilt:

 

                    (a)        aⁿ * a^m = a^n+m;                2³*2⁴= 8*16=128  

                                                                                 2³⁺⁴= 2⁷=128

                    (b)        (aⁿ)^m = a^n*m;                (2³)⁴=8⁴=4096

                                                                                     2¹²=4096

     

                    (c)                                für a ≠ 0;

          

                    (d)                              für a ≠ 0;         2³/2⁴=8/16=1/2

                                                                                                          2^3-4=1/2

                    (e)         aⁿbⁿ = (ab)ⁿ                        2²*3²=4*9= 36 

                                                                                       (2*3)²=6²=36

                     (f)                       

Quadratische Gleichung

                •ax² + bx + c = 0
                 mit a, b, c ∈ IR und a ≠ 0

                •Es gibt hierbei zwei Lösungen x₁ und x₂ falls

                •b² - 4ac ≥ 0 

               

Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert keine reellwertige Lösung.

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:

              

1.3. Binomkialkoeffizient und Fakultät

Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.3 und 1.4.

(1.4.6) Definition

Seien n, k ∈ N ∪ {0} mit k ≤ n. Dann setzen wir

                    (a)

                   

(sprich: n- Fakultät);

n! ist die Anzahl der möglichen Anordnungen

                    (b)

(sprich: n über k).

Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten.

Binomialkoeffizient n über k ist Anzahl der k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge.

Beispiele

                    0! = 1

                    1! = 1

                    2! = 2

                    3! = 6

                    4! = 24

                    71!=  am Taschenrechner nicht rechenbar  (69! ist die letzte rechenbare Zahl).

Beispiele

                  

(1.4.7) Satz

Für die Zahlen n, k ∈ N mit k ≤ n gilt:

                   

                   1. (n + 1)! = (n + 1) * n!  z.B  4! = 4*3!

                 

Beispiel:

Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

 

                 

Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form (a + b)ⁿ „auszumultiplizieren“, d.h. in eine Summe zu entwickeln wie folgt:

(1.4.8) Satz

Seien a, b ∈ IR und n ∈ N. Dann gilt:

                  

Beispiel:

                   

            

1.4. Logarithmus naturalis (ln)

Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.3 und 1.4.

Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden.

Einführungsbeispiel:
Betrachten wir die Gleichung 5^x=125 . Wir suchen den Wert x , der die Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als

                                5^?=125

Die kleine Kopfrechnung 1·5=5; 5·5=25; 5·5·5=125 verrät uns, dass 

                                5³=125

ist. Wir können die Lösung so hinschreiben

                                log₅ 125= 3

und so sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 5 von 125 ist 3“.

Es sind die beiden Aussagen  5³=125 und  log₅ 125= 3 äquivalent, was „gleichwertig“ heißt. 

„Der Logarithmus zur Basis a von y ist x .“

Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung a^x=y ergibt a^?=y:  .

Beispiele:
                               4^?=64 → 4³=64, also log₄64=3 .

Spezieller Logarithmus zur Basis e , wobei diese die eulersche Zahl e≈2,72 ist.

                               y = e^x ↔ log_ey = x = ln y

Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine Kurzschreibweise ist ln y .

Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist. So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen. 

Rechenregeln für Logarithmen
Die Rechenregeln gelten für alle Basen e.

• Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert. 
• ln 1=0
• ln (y*z)=ln y + ln z

Wir interessieren uns für ln (5·30) . Es ist ln (5·30)= ln 150 = 5,01 oder aber mit ln 5 = 1,61 und ln 30 = 3,40 :

                               ln (5·30)= ln 5 + ln 30 = 1,61 + 3,40 = 5,01

• ln(y/x) = ln(  y)- ln(x)

Beispiel:

Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=1,38. 
                                ln(528/22)=ln 528-ln 22=2,72-1,34=1,38

• ln (1/y)= -ln y
• ln z^b= b ln z

Beispiel:

                                ln 15³=ln 3375 = 3,5283
                                3 ln 15=3*1,1761=3,5283

• Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann, ist

      ln e^x =x

Wir beachten: Der Ausdruck ln e bedeutet nicht ln·e , sondern er bedeutet ln(e) , also der Logarithmus von e .

Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y) dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das manchmal unbefriedigend erscheint. 

                                      ln(x+y)<>ln(x)+ln( y )

2. Aufgaben

Aufgabe 0

Lösen Sie folgende Klammer auf:

                            (a + b - c) * d

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 0

Lösungsvideo der Aufgabe 0:

Aufgabe 1

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 1

Aufgabe 2

Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: 

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 2

Lösungsvideo der Aufgabe 2:

Aufgabe 3

Gegeben seien die folgenden Tabellen von Zahlen:

                                

Sowie die Variablen x₁, x₂, x₃ und y₁, y₂, y₃, y₄. Berechnen Sie die Summen:

Aufgabe 4

Berechnen Sie die Doppelsummen: 

                               

Aufgabe 5

 Gegeben seien die Zahlen: 

                               

Stellen Sie mit Hilfe des Summenzeichens dar:

(a) Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen!
(b) Die Summe der Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen!
(c) Die Summe der Elemente von der zweiten bis zur vierten Zeile (Spalte)
(d) Die Summe aller Elemente

Aufgabe 6

Schreiben Sie mit Hilfe des Produktzeichens

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 6

Lösungsvideo der Aufgabe 6:

Aufgabe 7

Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen: 

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 7

Lösungsvideo der Aufgabe 7:

Aufgabe 8

Berechnen Sie die folgenden Fakultäten: 

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 8

Lösungsvideo der Aufgabe 8:

Aufgabe 9

Schreiben Sie mit Hilfe des Fakultätszeichens: 

Lösungsvideo der Aufgabe 9:

Aufgabe 10

Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten: 

Aufgabe 11

Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Rechenregel: 

                           

Aufgabe 12

Sechs Personen werden namentlich in eine Liste eingetragen. Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? 

Aufgabe 13

Man berechne das Produkt der Binomialkoeffizienten von

Lösungsvideo der Aufgabe 13:

Aufgabe 14

Stellen Sie folgende Reihe mit Hilfe des Summenzeichens dar ! Hinweis: und denken sie an Fakultät !

Aufgabe 15

Berechnen Sie die Doppelsummen: 

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 15

Lösungsvideo der Aufgabe 15:

Aufgabe 16

Stellen Sie die Aufaddition folgender Zahlen mit dem Summenzeichen dar! 

Aufgabe 17

Man berechne den Binomialkoeffizienten von

Aufgabe 18

Berechnen Sie das Doppelprodukt 

Aufgabe 19

Man ermittle den Wert der folgenden Summen

Aufgabe 20

Welchen Wert hat folgendes Produkt bei a>0?

Lösungsvideo der Aufgabe 20:

Aufgabe 21 und 22

Gegeben sei die Matrix

Berechnen Sie

Lösungsvideo der Aufgabe 22:

Aufgabe 23

Man ermittle den Wert der folgenden Summe!

Lösungsvideo der Aufgabe 23:

Aufgabe 24

Schreiben Sie folgenden Ausdruck mit Hilfe von Summenzeichen:

Aufgabe 25

Berechnen Sie die Summe! 

Aufgabe 26

Schreiben sie die Formel (Barwert zukünftiger Zahlungen bei veränderlichen Zinssätzen) in ausführlicher Form hin!

Aufgabe 27

Gegeben sei die Matrix 

Mit c eine reele Zahl. Berechnen Sie 

Aufgabe 28

 Bestimmen Sie x mit Logarithmus: 

a) 10^x =100.000 

b) 2^x = 132

Lösungsvideo der Aufgabe 28:

Aufgabe 29

Vereinfachen Sie:

Lösungsvideo der Aufgabe 29:

Aufgabe 31

Vereinfachen Sie:

Aufgabe 32

Vereinfachen Sie:

Interaktive Aufgabe zu Aufgabe 32

Lösungsvideo der Aufgabe 32:

Aufgabe 33

Bestimmen sie alle Lösungen von x für folgende Gleichung!

                                

Aufgabe 34

Führen Sie mit EXCEL Summen-, Produkt- und Fakultätsberechnung durch!

Lösung der Aufgaben