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1. Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

1.2. Das Produktzeichen


                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.2
Das Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
                   
(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).
Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt     (für n N und a0 = 1) dar.

Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir an als die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent.

Wir wollen nun noch kurz die aus der Arithmetik bekannten Rechenregeln für Potenzen wiederholen.


Beispiel Produktzeichen

Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
                            
Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen
                  
                   
                    8=2*2*2
                    27= 3*3*3
                    64=4*4*4
                    Formel lautet i^3

Bemerkungen: Rechenregeln

  •  für alle beliebigen Werte von a außer der Null. Wir nennen den  Kehrwert von a.

  • Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.

  • Zwei Brüche  und (b,y ≠ 0) werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:

                           

  • Der Kehrwert eines Bruchs  ist der Bruch  .

  • Zwei Brüche  und  (b,y≠0) werden dividiert, indem man den Zählerbruch (bruch1) mit dem Kehrwert des Nennerbruchs (bruch2) multipliziert:

                             

  • Kann man einen Bruch  mit Hilfe eines  Wertes c so umformen, dass man  erhält, kann man den Bruch mit c kürzen und erhält  . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.(b, y, c ≠ 0 und c ≠ 1) . Es gilt dann also

                              

  • Brüche werden so addiert:

  1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner N(N ≠ 0)  haben.

  2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe Z .

  3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe Z und im Nenner der gleichnamige Ausdruck  .

  • Eine Potenz ist ein Term, der in der Form xa dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.

  • Bei ungeradzahligem n (n ∈ ℕ) kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden.

(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
 
                    (a)        an * am = an+m;                23*24= 8*16=128  
                                                                                 23+4= 27=128
                    (b)        (an)m = an*m;                (23)4=84=4096
                                                                                     212=4096
     
                    (c)                                für a ≠ 0;
          
                    (d)                              für a ≠ 0;         23/24=8/16=1/2
                                                                                                          23-4=1/2
                    (e)         anbn = (ab)n                        22*32=4*9= 36 
                                                                                       (2*3)2=62=36
                     (f)                       

Quadratische Gleichung

                •ax² + bx + c = 0

                 mit a, b, c  IR und a ≠ 0
                •Es gibt hierbei zwei Lösungen x1 und x2 falls
                •b² - 4ac ≥ 0 
               

Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert keine reellwertige Lösung.

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung: