Kapitel 9 - Lageparameter

9.1 Lernziele

In diesem Kapitel lernen Sie

welches die wichtigsten Lageparameter sind
wie Lageparameter berechnet und interpretiert werden
welche Lageparameter bei welchen Daten verwendet werden können.

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9.2 Statistische Fragestellung

Wie lässt sich die Interpretation einer Häufigkeitsverteilung verbessern, wenn Kennzahlen für die Lage der Verteilung ermittelt werden?

Lageparameter sollen für die Datenreihe möglichst „repräsentativ“ sein und die Lage der Werte auf der Merkmalsachse charakterisieren.

Als Lageparameter finden Verwendung

Modus (Modalwert) oder häufigster Wert: Das kann ein einziger Wert sein oder es sind mehrere Werte.
Median oder Zentralwert: Dieser "mittlere" Wert teilt die Verteilung in die unteren bzw. oberen 50 Prozent der Merkmalsträger, d.h. er halbiert die Verteilung.
Arithmetisches Mittel: Das ist der allgemein bekannte Durchschnittswert.
Geometrisches Mittel: Dieser Mittelwert bezieht sich meist auf zeitliche Datenreihen und will deren durchschnittliche Entwicklung (Zunahme oder Abnahme) wiedergeben.

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9.3 Modus (Modalwert)

Der Modus bzw. Modalwert wurde bereits beispielhaft verwendet (siehe Kapitel 6, 7 und 8).

Für den Modus, den häufigsten Wert einer Verteilung, gelten die folgenden Formeln, wobei der Laufindexwert M die Ausprägung bzw. Klasse des Modalwerts bezeichnet:

nicht-klassierte Verteilung
$\mathsf{\large{M = x_M}}$	wobei $\mathsf{\large{f_M = max(f_j)}}$ bzw. $\mathsf{\large{h_M = max(h_j)}}$
klassierte Verteilung
$\mathsf{\Large{M = \frac{a_M + b_M}{2}}}$	wobei $\mathsf{\large{f_M^{} = max(f_j^{})}}$ bzw. $\mathsf{\large{h_M^{} = max(h_j^{})}}$ und $\mathsf{\large{a_M, b_M = }}$ Klassenunter-/ obergrenze der Einfallsklasse M des Modalwerts

Beispiel: Lebensdauer von Ventilen

[a_j ,b_j[	f_j
200 - 300	5
300 - 400	7
400 - 500	4
Summe	16

Welche Lebensdauer kommt am häufigsten vor?
Die Modalklasse ist 300 – 400.
Der Modalwert ist 350.
Am häufigsten kommt eine Lebensdauer von 350 Std. vor.

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9.4 Zentralwert (Median) und Quantile

(1) Zentralwert

Urliste

Ordnet man die Beobachtungswerte nach der Größe, dann ist der Median derjenige Beobachtungswert, der die geordnete Reihe halbiert.

Im Falle einer ungeraden Anzahl von Beobachtungswerten ist

$\mathsf{\Large{x_z = x_{\LARGE {\frac{n+1}{2}}}}}$

Im Fall einer geraden Anzahl n von Beobachtungswerten genügt jeder Wert im Intervall $\mathsf{\Large{ \left[x_{\LARGE{\frac{n}{2}}} ; x_{\LARGE{\frac{n}{2}} \Large {+1}}\right]}}$

der obigen Definition. Man bestimmt der Einfachheit halber die Intervallmitte als Näherungswert des Zentralwerts

$\mathsf{\Large{x_z = \frac{1}{2} \left[x_{\LARGE {\frac{n}{2}}} + x_{\LARGE{\frac{n}{2}} \Large {+1}}\right]}}$

Beispiel: Lebensdauer von Ventilen nach der Größe geordnet

Beobachtung i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Dauer in Std. x_i	210	230	240	260	280	330	350	360	370	380	390	400	420	440	460	480

Welche Lebensdauer wird von 50 Prozent der Ventile erreicht oder unterschritten?

$\mathsf{\Large{x_z = \frac{1}{2}\left[\normalsize{360+370}\right] = \normalsize{365}}}$

Der Zentralwert liegt zwischen 360 und 370 und beträgt (gemäß der obigen Näherungsformel) 365.

→ Die Hälfte der beobachteten Ventile hat eine Lebensdauer von 365 Stunden und weniger.

Häufigkeitsverteilung:

Im Fall einer Häufigkeitsverteilung ist der Zentralwert der Wert, bei dem die absolute kumulierte Häufigkeit den Wert n/2 bzw. die relative kumulierte Häufigkeit den Wert von 0,5 bzw. 50 Prozent erreicht oder erstmals überschreitet.

Bei einer klassierten Häufigkeitsverteilung kann der Zentralwert innerhalb der Klasse, in der der Zentralwert liegt, durch lineare Interpolation mit Hilfe der absoluten oder relativen kumulierten Häufigkeiten ermittelt werden. (Der Index Z bezeichnet die Klasse, in der der Zentralwert liegt.)

$\mathsf{\large{x_z = a_z + \left(\Large{\frac{n}{2}} - \normalsize {F_{Z-1}}\right)} \cdot \Large{\frac{b_z - a_z}{F_Z - F_{Z-1}}}}$ bzw. $\mathsf{\large{x_z} = \normalsize {a_z + \left(0,5 - H_{Z-1}\right)} \cdot \Large{\frac{b_z - a_z}{H_Z - H_{Z-1}}}}$

Beispiel: Lebensdauer von Ventilen

[a_j; b_j[	f_j	F_j
200 - 300	5	5
300 - 400	7	12
400 - 500	4	16
Summe	16

Welche Lebensdauer wird von 50% der Ventile erreicht oder unterschritten?

→ Der Zentralwert liegt in der Klasse 300 – 400

Innerhalb dieser Klasse wird linear interpoliert:

$\mathsf{\large{x_z = \normalsize {300 + (8 - 5)} \cdot \Large {\frac{400 - 300}{12 - 5}} = \normalsize {342,86}}}$

→ Mindestens 50 Prozent der Ventile erreicht eine Lebensdauer von 342,86 Stunden und weniger und mindestens 50 Prozent der Ventile hat eine Lebensdauer von 342,86 Stunden und mehr.

(2) Quantile

Das Prinzip für die Ermittlung des Zentralwerts lässt sich verallgemeinern, wenn man an Stelle der 50 % Grenze andere Prozentsätze verwendet. Allgemein spricht man dann von den Quantilen einer Verteilung. Die allgemeine Definition für die Quantile lautet:

Ein p % Quantil ist dadurch charakterisiert, dass mindestens p % der Beobachtungen einen Wert kleiner gleich und mindestens (1 – p) % einen Wert größer oder gleich dem Wert x_p annehmen.

Insbesondere die Quartile mit 25 % bzw. 75 % werden in der Praxis häufig verwendet, ebenso die Dezile, insbesondere das unterste 10 % Dezil und das oberste 90 % Dezil.

So besagt z.B. der oberste 90% Dezilwert, dass z.B. mindestens 90 Prozent der Bevölkerung eine Körpergröße von maximal x₉₀ cm erreicht und mindestens 10% der Bevölkerung eine Körpergröße hat, die gleich oder größer x₉₀ cm ist.

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9.5 Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird unter Verwendung der Urliste bzw. der Häufigkeitsverteilung wie folgt berechnet (siehe auch die entsprechenden Abschnitte in den Kapiteln 6 und 7):

$\mathsf{\large{\overline{x} = \Large {\frac{1}{n}} \sum\limits_{i = 1}^{n} \large {x_i}}}$ bzw. $\mathsf{\large{\overline{x} = \Large {\frac{1}{n}} \sum\limits_{j = 1}^{m} \large {x_j f_j}}}$ bzw. $\mathsf{\large{\overline{x} = \Large{\sum\limits_{j = 1}^{m} x_j h_j}}}$

Beispiel: Lebensdauer von Ventilen

Beobachtung i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	Summe
Dauer in Std. x_i	280	330	260	440	420	240	480	360	460	400	230	210	350	370	380	390	5600

Wie hoch ist die durchschnittliche Lebensdauer?

$\mathsf{\large{\overline{x} = \Large {\frac{1}{16}} \cdot \normalsize {5600 = 350}}}$

Das arithmetische Mittel beträgt 350.

Die beobachteten Ventile hatten im Durchschnitt eine Lebensdauer von 350 Stunden.

Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels

Die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel bzw. der Durchschnitt d dieser Abweichungen ist gleich 0:

$\mathsf{ \large{ d = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x}) = \normalsize {0 }} }$

Das arithmetische Mittel liegt demnach so zentral in einer Verteilung, dass sich positive und negative Abweichungen der Merkmalswerte in der Summe ausgleichen. Deshalb werden bei der Berechnung der durchschnittlichen absoluten Abweichung die Differenzen zwischen den Merkmalswerten und dem Lageparameter absolut genommen.

Für eine Beobachtungsreihe mit den Werten 3, 6, 10, 11, 13 und 14 und dem arithmetischen Mittel von 9,5 gilt somit:

$\mathsf{ F(M) = \Large {\frac{1}{6}} \normalsize {\left[ (3 - 9,5) + (6 - 9,5) + (10 - 9,5) + (11 - 9,5) + (13 - 9,5) + (14 - 9,5)\right] = 0 }}$

Bei klassierten Daten ist der exakte Wert von nicht zu ermitteln; man berechnet ersatzweise das gewogene arithmetische Mittel aus Klassenmitten mit den Klassenhäufigkeiten als Gewichte (siehe Lektion 7).

Beispiel: Lebensdauer von Ventilen

[a_j; b_j[	f_j	m_j	f_jm_j
200 - 300	5	250	1250
300 - 400	7	350	2450
400 - 500	4	450	1800
Summe	16		5500

Wie hoch ist die durchschnittliche Lebensdauer?

$\mathsf{\large{\overline{x} = \Large {\frac{1}{16}} \cdot \normalsize {5500 = 343,75}}}$

Das aus Klassenmitten errechnete arithmetische Mittel beträgt 343,75, d.h. die Ventile hatten im Durchschnitt eine Lebensdauer von etwa 343,75 Stunden.

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9.6 Geometrisches Mittel

Bestehen die Merkmalswerte aus Wachstumsraten, Wachstumsfaktoren oder Zinsfaktoren, die über eine Folge von Perioden hinweg beobachtet werden, ist als Durchschnittswert das geometrische Mittel zu verwenden.

Das geometrische Mittel ist definiert als:

$\mathsf{ \large{ G = \sqrt[\LARGE{n}]{\strut \large {x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n} } } }$

Die gebräuchlichsten Anwendungen des geometrischen Mittels finden sich in der Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate bzw. der Durchschnittsverzinsung.

Beispiel mehrjährige Verzinsung

Ein Bundesschatzbrief mit einer Laufzeit von sieben Jahren werde beginnend mit dem ersten Jahr zu folgenden Zinssätzen verzinst:

Zins r_t :

2,5 %

3,0 %

3,5 %

4,25 %

4,5 %

5,0 %

Wie hoch ist die Durchschnittsverzinsung?

Zunächst müssen die Zinssätze r_t über die Beziehungen $\mathrm{ r_t = (q_t – 1)\cdot100 }$ in Zinsfaktoren umgerechnet werden:

Zinsfaktor q_t :

1,025

1,03

1,035

1,0425

1,045

1,05

Dann ergibt sich für das geometrische Mittel:

$\mathsf{ \large{ G = \sqrt[\LARGE{7}]{\strut \normalsize {1,025\cdot 1,03\cdot 1,035\cdot 1,0425\cdot 1,045\cdot 1,05\cdot 1,05}} = \sqrt[\LARGE{7}]{\strut \normalsize {1,3124}} = \normalsize {1,0396} }}$

Mit dem Bundesschatzbrief erzielt der Anleger eine durchschnittliche Verzinsung von 3,96 % =

$\mathsf{(1,0396 - 1)\cdot100 }$ pro Jahr.

Das geometrische Mittel hat die Eigenschaft, über n Perioden hinweg denselben Effekt zu erzielen wie die sukzessive Multiplikation der n Werte.

Hier folgt ein

Lehrvideo: Geometrisches Mittel

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9.7 Vergleich und Verwendung der Lageparameter

Je nach Merkmalsart bzw. Skalenniveau einer Variablen können unterschiedliche Lageparameter verwendet werden.

Sehen Sie selbst - durch Klicken auf Beispiel:

Skalierung	nominal	ordinal	metrisch
Modus	ja Beispiel	ja Beispiel	ja Beispiel
Median	nein	ja Beispiel	ja Beispiel
arithmetisches Mittel	nein	nein	ja¹⁾ Beispiel
Anwendungsbeispiele
Skalierung	nominal	ordinal	metrisch
Modus	die meist gekaufte Automarke, das beliebteste Reiseland	Am häufigsten wurde bei der Masterarbeit die Note 2 erzielt.	Die gängigste Schuhgröße bei Herren ist die Größe 43.
Median	nein	50 Prozent der Klausurteilnehmer erzielten ein Ergebnis von 3 oder schlechter.	Die Hälfte der Reiseteilnehmer hatte Ausgaben von 1500 EUR und weniger.
Arithmetisches Mittel	nein	nein²⁾	Im Durchschnitt gab jeder Reiseteilnehmer während der Reise 1840 EUR aus.

Anmerkungen:

1) Ausnahme: Bei Wachstumsfaktoren wird das geometrische Mittel verwendet.

2) Es ist gebräuchlich, Notendurchschnitte zu errechnen. Hier behandelt man die Note wie ein metrisch skaliertes Merkmal. Dies unterstellt allerdings, dass die Abstände zwischen den einzelnen Noten gleich groß, also "gleichwertig" sind.

Hier sehen Sie ein

Lehrvideo: Lageparameter und Säulendiagramm

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9.8 Übungen

Übungsaufgaben

Sie erhalten eine Liste von 25 Tankstellen in der näheren Umgebung mit den Preisen in Euro-Cent für Benzin :

193,9	193,9	194,4	194,4	195,9	195,9	195,9	195,9	195,9	196,9	196,9	196,9
196,9	196,9	197,9	197,9	197,9	197,9	198,4	198,4	198,9	198,9	198,9	199,9	199,9

Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen und vollziehen Sie die Berechnungen nach:

Welcher Benzinpreis kommt am häufigsten vor? Antwort	Die am häufigsten vorkommenden Benzinpreise sind 195,9 und 196,9 (je 5 Mal).
Welcher Benzinpreis wird von der Hälfte der Tankstellen erreicht oder unterschritten? Antwort Berechnung	Mindestens 50 Prozent der Tankstellen haben einen Benzinpreis von 196,9 oder weniger. $\mathsf{ \large{ x_z = x_{\LARGE{\frac{25+1}{2}}} = x_{13} = \normalsize {196,9 }} }$
Welchen Benzinpreis verlangen die Tankstellen im Durchschnitt? Antwort Berechnung	Im Durchschnitt verlangen die Tankstellen einen Preis von 197,0 Cent je Liter. $\mathsf{ \large{ \overline{x} = \Large{ \frac{4925,5}{25}} = \normalsize {197,02 }} }$
Welcher Benzinpreis wird von 3/4 aller Tankstellen erreicht oder unterschritten? Antwort Berechnung	Mindestens 75 Prozent aller Tankstellen haben einen Benzinpreis von 198,4 Cent oder weniger. $\mathsf{ \large{ x_{0,75} = x_{25\cdot 0,75} = x_{18,75} = x_{19} = \normalsize {198,4} } }$

Erstellen Sie aus diesen Messergebnissen ausgehend von 192 Cent und einer Klassenbreite von 2 Cent eine Häufigkeitsverteilung und bestimmen Sie die Lageparameter anhand dieser Häufigkeitsverteilung.

Welche Lageparameter ergeben sich aufgrund der Häufigkeitsverteilung?

Antwort

Berechnung

$\mathsf{ \large{ x_z = \normalsize {196 + (13-9)} \Large{\frac{198-196}{19-9}}= \normalsize {196,89} } }$

$\mathsf{ \large{ \overline{x} = \Large{\frac{4917}{25}} = \normalsize {196,68 }} }$

Übungsvideo: Lageparameter - Klassierte Häufigkeitsverteilung

Optionale Übungen (nicht klausurrelevant)

Die nachfolgenden Excel-Dateien bieten ergänzende Übungsmöglichkeiten, wobei zur vollständigen Bearbeitung die Aktivierung der Excel-Makrofunktion erfolgen muss.

Hinweis: Excel für APPLE bietet die Makrofunktion leider nicht an.

Interaktive Übung 1: Lageparameter - Säulendiagramm

Interaktive Übung 2: Lageparameter - Histogramm + Interpolation

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9.9 Kontrollfragen

Was ist ...

Mauszeiger auf die Frage: Die Antwort erscheint.

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Website:	iLearn - Lernmanagementsystem der Hochschule Deggendorf
Kurs:	vhb Demo: Statistik I
Buch:	Kapitel 9 - Lageparameter

Gedruckt von:	Gast
Datum:	Samstag, 27. Juli 2024, 20:32