Lektion 3 - Wahrscheinlichkeitsbegriffe und Kombinatorik

3.3.1 A-priori- und A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten

Das Ereignis, dass eine Person eine bestimmte Krankheit hat, trete mit der Wahrscheinlichkeit P(A) = 0,002 ein, d.h. 2 von 1.000 Personen haben diese Krankheit.

P(A) nennt man die A-priori-Wahrscheinlichkeit von A.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht an der Krankheit A erkrankt ist, beträgt dann P(Ā) = 0,998.

In einem Test soll ermittelt werden, ob eine Person diese Krankheit hat. Das Ereignis B bedeutet dann, dass der Test positiv ausfällt - d.h. dass angezeigt wird, dass die Person die Krankheit hat.

P(B) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit von B.

Damit lauten die Ereignisse:

A = „krank“, Ā = „nicht krank“, B = „Test positiv“,  = „Test negativ“.

Der pharmazeutische Anbieter des Tests garantiert, dass der Test die Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 erkennt: Damit ist P(B|A) = 0,99 und P(B|Ā) = 0,01.

Frage: Wie wahrscheinlich ist das Vorliegen einer Krankheit, wenn das Testergebnis positiv ist?

oder: Wie wahrscheinlich ist das Vorliegen keiner Erkrankung bei positivem Testergebnis = falsch positives Testergebnis?

Satz von Bayes:

und im Beispiel:

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, dass der Test „richtig positiv“ entscheidet, ist gleich 16,6%.

Damit ist die Komplementär-Wahrscheinlichkeit, dass der Test „falsch positiv“ entscheidet, erstaunlich hoch: 83,4%.

In einer Kreuztabelle (angewandt auf insgesamt 100.000 Personen) lässt sich dies wie folgt darstellen:

	Person ist...		krank	gesund	Summe
Testergebnis ist...			A	Ā
positiv	B	in %	99,00	1,00	1,20
		absolut	198	998	1.196
negativ		in %	1,00	99,00	99,80
		absolut	2	98.802	98.804
Summe		in %	0,20	99,80	100,00
		absolut	200	99.800	100.000

Wahrscheinlichkeit für falsch positiv (in %): 998,00 / 1.196,00 · 100 = 83,44 %

Wahrscheinlichkeit für richtig positiv (in %): 198,00 / 1.196,00 · 100 =16,56 %