Interaktives Buch: Das Summenzeichen

1. Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

1.1. Das Summenzeichen

Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1

(1.4.1) Definition

Die Summe der reellen Zahlen a_m, ..., a_n kann man abkürzen in der Form

(sprich: Summe der a_i, für i = m bis n).

Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n ∈ Z; m ≤ n).

Der Ausdruck

$\sum_{{i}={m}}^{n}a_{i}$ stellt also eine Anweisung dar, die Summe der Zahlen a_i zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft.

Häufig tritt der Spezialfall einer Summe

$\sum_{{i}={1}}^{n}a_{i}$ oder

$\sum_{{i}={0}}^{n}a_{i}$ auf.

Beispiel:

a1=4, a2=7, a3=12, a4=18

Bemerkung:

Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe a_iexplizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen. Für das Erkennen von Gesetzmässigkeiten in Zahlenfolgen, die aufaddiert werden, empfiehlt sich folgende Faustregel:

1.Unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=1 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe i=1 bis 4 von 3*i-1

2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B. 4+9+16+25 Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5 also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand 2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i

3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)ⁱ realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass der erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3,-4 benötigt (-1)^i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.

Beispiel:

Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:

Beispiel:

Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)ⁱ⁺¹

Beispiel:

Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen

4= 2*2

27=3*9=3*3*3

256=16*16=4*4*4*4

Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

i ⁱ

Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1

Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:

(1.4.2) Satz

Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre

Bei vielen für die Praxis wichtigen Problemen treten doppelt indizierte Summanden a_ij auf. In diesem Falle kann man eine so genannte Doppelsumme bilden, indem man über beide Indices summiert.

(1.4.3) Definition

Gegeben seien die Zahlen a₁₁, ..., a_mn ∈ IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe als Doppelsumme:

Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.

Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

Beispiel Doppelsumme

Berechnen Sie die Doppelsummen:

i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+
6*1+3*1*1+

i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+
6*2+3*2*1=

6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45

(1.4.3) Definition

Gegeben seien die Zahlen a₁₁, ..., a_mn ∈ IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:

Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:

es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.