1. Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

1.1. Das Summenzeichen


                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1
(1.4.1) Definition
Die Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
   
                     
(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).
Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n  Z; m  n).
Der Ausdruck  \sum_{{i}={m}}^{n}a_{i}  stellt also eine Anweisung dar, die Summe der Zahlen ai zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft. 
Häufig tritt der Spezialfall einer Summe  \sum_{{i}={1}}^{n}a_{i} oder  \sum_{{i}={0}}^{n}a_{i} auf.

Beispiel:
 
                      a1=4, a2=7, a3=12, a4=18
                       
                     

Bemerkung:

Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe ai explizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen. Für das Erkennen von Gesetzmässigkeiten in Zahlenfolgen, die aufaddiert werden, empfiehlt sich folgende Faustregel:


1.Unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=1 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe i=1 bis 4 von 3*i-1

2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B. 4+9+16+25 Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5 also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand  2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i

3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)i realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass der erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3,-4 benötigt (-1)i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.

             
Beispiel:
             
              

Beispiel:
              
              

Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:
                   

Beispiel:
       
              
              

Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); 
einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)i+1 

Beispiel:
              
Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen
                 
              4= 2*2
              27=3*9=3*3*3
              256=16*16=4*4*4*4
Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also
              i
             
             

                         Inhalt des Videos: Unterkapitel 1.1
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:
(1.4.2) Satz
                
 
                       
Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre
                  
                   

Bei vielen für die Praxis wichtigen Problemen treten doppelt indizierte Summanden aij auf. In diesem Falle kann man eine so genannte Doppelsumme bilden, indem man über beide Indices summiert.

(1.4.3) Definition
Gegeben seien die Zahlen a11, ..., amn ∈ IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe als Doppelsumme:
               
                   
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.
                
                   
Beispiel Doppelsumme
Berechnen Sie die Doppelsummen:
                  
                     
               i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+
                          6*1+3*1*1+
               i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+
                           6*2+3*2*1=
                           6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45
(1.4.3) Definition
Gegeben seien die Zahlen a11, ..., amn  IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:
               
                  
Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:
 
                  
 
es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.