Interaktives Buch

Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden.

Einführungsbeispiel:
Betrachten wir die Gleichung 5^x=125 . Wir suchen den Wert x , der die Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als

                                5^?=125

Die kleine Kopfrechnung 1·5=5; 5·5=25; 5·5·5=125 verrät uns, dass 

                                5³=125

ist. Wir können die Lösung so hinschreiben

                                log₅ 125= 3

und so sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 5 von 125 ist 3“.

Es sind die beiden Aussagen  5³=125 und  log₅ 125= 3 äquivalent, was „gleichwertig“ heißt. 

„Der Logarithmus zur Basis a von y ist x .“

Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung a^x=y ergibt a^?=y:  .

Beispiele:
                               4^?=64 → 4³=64, also log₄64=3 .

Spezieller Logarithmus zur Basis e , wobei diese die eulersche Zahl e≈2,72 ist.

                               y = e^x ↔ log_ey = x = ln y

Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine Kurzschreibweise ist ln y .

Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist. So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen. 

Rechenregeln für Logarithmen
Die Rechenregeln gelten für alle Basen e.

• Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert. 
• ln 1=0
• ln (y*z)=ln y + ln z

Wir interessieren uns für ln (5·30) . Es ist ln (5·30)= ln 150 = 5,01 oder aber mit ln 5 = 1,61 und ln 30 = 3,40 :

                               ln (5·30)= ln 5 + ln 30 = 1,61 + 3,40 = 5,01

• ln(y/x) = ln(  y)- ln(x)

Beispiel:

Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=1,38. 
                                ln(528/22)=ln 528-ln 22=2,72-1,34=1,38

• ln (1/y)= -ln y
• ln z^b= b ln z

Beispiel:

                                ln 15³=ln 3375 = 3,5283
                                3 ln 15=3*1,1761=3,5283

• Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann, ist

      ln e^x =x

Wir beachten: Der Ausdruck ln e bedeutet nicht ln·e , sondern er bedeutet ln(e) , also der Logarithmus von e .

Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y) dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das manchmal unbefriedigend erscheint. 

                                      ln(x+y)<>ln(x)+ln( y )