Kapitel 2 - Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.7 Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Es gibt drei verschiedene Begriffe für die Definition der Wahrscheinlichkeit:
- Statistische Wahrscheinlichkeit
- Klassische Wahrscheinlichkeit (nach Laplace)
- Axiomatische Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogoroff).
(1) Die statistische Wahrscheinlichkeit
Die statistische Wahrscheinlichkeit P(A) ist derjenige Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit h(A) bei einer zunehmenden Zahl von Zufallsexperimenten stabilisiert:
\( \mathsf{ \normalsize{ P(A) = \lim\limits_{n \to \infty} h(A) } } \)
(2) Die klassische Wahrscheinlichkeit
Die klassische oder mathematische Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus der Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle:
\( \mathrm{ \normalsize{ P(A) =\Large{ \frac{|A|}{|\Omega|} } } } \)
Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeiten für die 6 im nachfolgenden Venn-Diagramm angegebenen Ereignisse.
Bei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} des Würfels ergeben sich:
\( \mathsf{ \normalsize{ P(A) = \Large{ \frac{3}{6} }\normalsize{= 0,5 } }} \) \( \mathsf{ \normalsize{ P(B) = \Large{ \frac{2}{6} }\normalsize{= 0,333 } }} \) \( \mathsf{ \normalsize{ P(A \cap</span><span style="font-size: 0.9375rem; letter-spacing: 0.3px;"> B) =\Large{ \frac{1}{6} }\normalsize{= 0,167 } }}\)
\( \mathsf{ \normalsize{ P(A </span><span style="font-size: 0.9375rem; letter-spacing: 0.3px;">\cup B) = \Large{\frac{4}{6} } \normalsize{ = 0,667 }} } \) \( \mathsf{ \normalsize{ P(\overline{A} ) = \Large {\frac{3}{6}} \normalsize{= 0,5 } } }\) \( \mathsf{ \normalsize{ P(A-B) =\Large{ \frac{2}{6} } \normalsize{ = 0,333 } }} \)
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(3) Die axiomatische Wahrscheinlichkeit
Axiom 1
Jedem Ereignis A ist eine reelle Zahl größer gleich 0 und kleiner gleich 1 zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit P(A) heißt:
Axiom 2
Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist gleich 1,0:
Axiom 3
Die Wahrscheinlichkeit für das Vereinigungsereignis zweier disjunkter Ereignisse ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten:
Die axiomatische Wahrscheinlichkeit am Würfelbeispiel
zu Axiom 1: P(A) = 0,5 das entspricht 50%
zu Axiom 2: Die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu werfen, ist 1 bzw. 100%
zu Axiom 3: A und A̅ sind disjunkt;
Die Wahrscheinlichkeitssumme ist P(A) + P(A̅) = 0,5 + 0,5 = 1,0.
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Lehrvideo: Wahrscheinlichkeitsbegriffe Würfelwurf
Kreuztabelle für verknüpfte Ereignisse
Die Kreuztabelle ist eine wichtige Darstellungsform für die Verknüpfungen von Ereignissen:
Die Kreuztabelle enthält Randwahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten für die kombinierten Ausprägungen.
Wir erkennen in der obigen Tabelle, dass - wegen der vorliegenden Unabhängigkeit - die Zellenwahrscheinlichkeiten als Produkte der Randwahrscheinlichkeiten zustande kommen.
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