Lektion 3 - Wahrscheinlichkeitsbegriffe und Kombinatorik

In dieser Lektion lernen Sie,

  • die Regeln für die Durchführung eines Zufallsexperiments,
  • Ergebnisse und Ereignisse kennen,
  • die grundlegenden Formeln und Rechenregeln für die Wahrscheinlichkeit,
  • die bedingte Wahrscheinlichkeit kennen.

3.2 Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Wir kennen drei verschiedene Begriffe für die Darlegung der Wahrscheinlichkeit



  • Statistische Wahrscheinlichkeit

  • Klassische Wahrscheinlichkeit (nach Laplace)

  • Axiomatische Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogoroff)




Die statistische Wahrscheinlichkeit

Die statistische Wahrscheinlichkeit P(A) ist derjenige Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit h(A) bei einer zunehmenden Zahl von Zufallsexperimenten stabilisiert:


Kap3_statWkeit   


Die klassische Wahrscheinlichkeit

Die klassische oder mathematische Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus der Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle:


Kap3_klassWkeit

Geben Sie die sechs Wahrscheinlichkeiten für das nachfolgende Venn-Diagramm an:


Das Venn-Diagramm

...Beispiel für Ω = {1,2,3,4,5,6} eines Würfels

Venn-Diagramm
Die Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung beziehen sich auf das unmögliche Ereignis, das Komplementärereignis und die Vereinigung beliebiger Ereignisse.


Antwort: Mauszeiger auf die Begriffe (Mouseover)




Die axiomatische Wahrscheinlichkeit

Axiom 1

Jedem Ereignis A ist eine reelle Zahl größer gleich 0 und kleiner gleich 1 zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit P(A) heißt:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Axiom 2

Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist gleich 1:

P(Ω) = 1

Axiom 3

Die Wahrscheinlichkeit für das Vereinigungsereignis zweier disjunkter Ereignisse ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten:

P(A U B) = P(A) + P(B), wenn P(A ∩ B) = ø



Die axiomatische Wahrscheinlichkeit am WürfelbeispielKap3_Würfel

zu Axiom 1:     P(A) = 0,5  das entspricht 50%

zu Axiom 2:     Die Wahrscheinlichkeit, eine 1,2,3,4,5 oder 6 zu werfen, ist 1 bzw. 100%

zu Axiom 3:     A und Ā sind disjunkt.

                       Die Wahrscheinlichkeitssumme ist 1.





Kreuztabelle für verknüpfte Ereignisse

Die Kreuztabelle ist eine wichtige Darstellungsform für die Verknüpfungen von Ereignissen:

 Zufriedenheit ja nein Summe
 Geschlecht B Bquer
 männlich A 0,54 0,06 0,60
 weiblich Ā 0,36 0,04 0,40
 Summe 0,90 0,10 1,00



Die Kreuztabelle enthält Randwahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten für die kombinierten Ausprägungen.

Wir erkennen in der obigen Tabelle, dass - wegen der vorliegenden Unabhängigkeit - die Zellenwahrscheinlichkeiten als Produkte der Randwahrscheinlichkeiten zustande kommen.